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设n维向量α1,α2,…,αs线性无关,而α1,α2,…,αs,β线性相关,证明β可以由α1,α2,…,αs线性表出.且表示方法唯一.
设n维向量α1,α2,…,αs线性无关,而α1,α2,…,αs,β线性相关,证明β可以由α1,α2,…,αs线性表出.且表示方法唯一.
admin
2018-06-12
60
问题
设n维向量α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,而α
1
,α
2
,…,α
s
,β线性相关,证明β可以由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出.且表示方法唯一.
选项
答案
因为α
1
,α
2
,…,α
s
,β线性相关,故存在不全为0的k
1
,k
2
,…,k
s
,k使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+kβ=0, 那么必有k≠0(否则k
1
,k
2
,…,k
s
不全为0,而k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0,这与α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关相矛盾).从而β=-[*](k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
),即β可以由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出. 如果β有两种表示方法,设为 β=χ
1
α
1
+χ
2
α
2
+…+χ
s
α
s
及β=y
1
α
1
+y
2
α
2
+…+y
s
α
s
, 那么(χ
1
-y
1
)α
1
+(χ
2
-y
2
)α
2
+…+(χ
s
-y
s
)α
s
=0. 因为χ
1
-y
1
,χ
2
-y
2
,…,χ
s
-y
s
不全为0,从而α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,与已知矛盾.故β的表示法唯一.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Ug4777K
0
考研数学一
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