设n维向量α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，证明β可以由α1，α2，…，αs线性表出．且表示方法唯一．

admin2018-06-12 57

问题设n维向量α₁，α₂，…，α_s线性无关，而α₁，α₂，…，α_s，β线性相关，证明β可以由α₁，α₂，…，α_s线性表出．且表示方法唯一．

选项

答案因为α₁，α₂，…，α_s，β线性相关，故存在不全为0的k₁，k₂，…，k_s，k使得 k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＋kβ＝0，那么必有k≠0(否则k₁，k₂，…，k_s不全为0，而k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0，这与α₁，α₂，…，α_s线性无关相矛盾)．从而β＝－[*](k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s)，即β可以由α₁，α₂，…，α_s线性表出．如果β有两种表示方法，设为 β＝χ₁α₁＋χ₂α₂＋…＋χ_sα_s及β＝y₁α₁＋y₂α₂＋…＋y_sα_s，那么(χ₁－y₁)α₁＋(χ₂－y₂)α₂＋…＋(χ_s－y_s)α_s＝0．因为χ₁－y₁，χ₂－y₂，…，χ_s－y_s不全为0，从而α₁，α₂，…，α_s线性相关，与已知矛盾．故β的表示法唯一．

解析

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考研数学一

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设n维向量α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，证明β可以由α1，α2，…，αs线性表出．且表示方法唯一．

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