设n维向量α1,α2,…,αs线性无关,而α1,α2,…,αs,β线性相关,证明β可以由α1,α2,…,αs线性表出.且表示方法唯一.

admin2018-06-12  40

问题 设n维向量α1,α2,…,αs线性无关,而α1,α2,…,αs,β线性相关,证明β可以由α1,α2,…,αs线性表出.且表示方法唯一.

选项

答案因为α1,α2,…,αs,β线性相关,故存在不全为0的k1,k2,…,ks,k使得 k1α1+k2α2+…+ksαs+kβ=0, 那么必有k≠0(否则k1,k2,…,ks不全为0,而k1α1+k2α2+…+ksαs=0,这与α1,α2,…,αs线性无关相矛盾).从而β=-[*](k1α1+k2α2+…+ksαs),即β可以由α1,α2,…,αs线性表出. 如果β有两种表示方法,设为 β=χ1α1+χ2α2+…+χsαs及β=y1α1+y2α2+…+ysαs, 那么(χ1-y11+(χ2-y22+…+(χs-yss=0. 因为χ1-y1,χ2-y2,…,χs-ys不全为0,从而α1,α2,…,αs线性相关,与已知矛盾.故β的表示法唯一.

解析
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