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已知线性方程组 的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组 的通解，并说明理由．
已知线性方程组 的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组 的通解，并说明理由．
admin
2021-02-25
55
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为(b
11
，b
12
，…，b
1，2n
)
T
，(b
21
，b
22
，…，b
2，2n
)
T
，…，(b
n1
，b
n2
，…，b
n，2n
)
T
．试写出线性方程组
的通解，并说明理由．
选项
答案
设方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的系数矩阵分别为A和B，则由(Ⅰ)的基础解系可知AB
T
=0，于是BA
T
=(AB
T
)
T
=O，所以A的n个行向量的转置也是方程组(Ⅱ)的n个解向量． 由于(b
11
，b
12
，…，b
1，2n
)
T
，(b
21
，b
22
，…，b
2，2n
)
T
，…，(b
n1
，b
n2
，…，b
n，2n
)
T
为方程组(Ⅰ)的基础解系，所以该向量组线性无关，故r(B)=n，从而方程组(Ⅱ)的基础解系解向量的个数为2n-n=n． 又由于方程组(Ⅰ)的未知数的个数为2n，基础解系解向量的个数为n，所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩r(A)=n，于是A的n个行向量的转置是线性无关的，从而构成方程组(Ⅱ)的一个基础解系，于是方程组(Ⅱ)的通解为 y=k
1
(b
11
，b
12
，…，b
1，2n
)
T
+k
2
(b
21
，b
22
，…，b
2，2n
)
T
+…+k
n
(b
n1
，b
n2
，…，b
n，2n
)
T
， 其中k
1
，k
2
，…，k
n
为任意常数．
解析
本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构以及方程组系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0a84777K
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