[2003年] 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限存在，证明：在(a，b)内存在与(2)中手相异的点η，使f′(η)(b2一a2)=f(x)dx．

admin2019-06-09 81

问题 [2003年] 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限

存在，证明：
在(a，b)内存在与(2)中手相异的点η，使f′(η)(b²一a²)=

f(x)dx．

选项

答案因f(ξ)=f(ξ)一0=f(ξ)一f(a)，在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理知，在(a，ξ)内存在一点η，使f(ξ)=f′(η)(ξ一a)，从而由(2)的结论得 [*]即 f′(η)(b²一a²)=[*]f(x)dx．

解析由f(ξ)=f(ξ)一f(a)，对f(x)在[a，ξ]上再次使用拉格朗日中值定理即可得证．

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考研数学二

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