2. 考研
  3. 证明：二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

证明：二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2019-01-23  71
问题 证明：二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
选项
答案A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 QAQ-1=diag(λ1，λ2，…，λn)=A， 其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值，不妨设λ1最大。 作正交变换y=Qx，即x=Q-1y=QTy，则 f=xTAx=yTQAQTy=yTΛy=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2， 因为y=Qx，所以当||x||=1时，有 ||x||2=xTx=yTQQTy=||y||2=1， 即 y12+y22+…+yn2=1。 因此 f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2≤λ1(y12+y22+…+yn2)=λ1。 又当y1=1，y3=y2=…=yn=0时,=fλ1，所以fmax=λ1。
解析
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考研数学三

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