f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f’”(ξ)=3.

admin2019-11-25  40

问题 f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f’”(ξ)=3.

选项

答案由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f’(0)(-1-0)+[*](-1-0)2+[*](-1-0)3,ξ1∈(-1,0), f(1)=f(0)+f’(0)(1-0)+[*](1-0)2+[*](1-0)3,ξ2∈(0,1), 即f(0)+[*]=0,f(0)+[*]=1, 两式相减得f’”(ξ1)+f’”(ξ2)=6. 因为f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,所以f’”(x)在[ξ1,ξ2]上连续,由连续函数最值定 理,f’”∥(x)在[ξ1,ξ2]上取到最小值m和最大值M,故2m≤f’”(ξ1)+f’”(ξ2)≤2M,即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理,存在ξ∈[ξ1,ξ2][*](-1,1),使得f’”(ξ)=3.

解析
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