2. 考研
  3. 设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线的方程，并求函数y＝y(x)的极值．

设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线的方程，并求函数y＝y(x)的极值．

admin2014-01-26  45
问题 设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线的方程，并求函数y＝y(x)的极值．
选项
答案因曲线向上凸，故y"＜0，又由已知，得 [*]，即y”＝－(1＋y’ 2)。 由曲线经过点(0，1)处及切线方程．y＝x＋1，可得初始条件y(0)＝1，y’(0)＝1． 令p＝y’，得p’＝－(1＋p2)，分离变量并积分得arctanp＝C1—x，即 arctany’＝C1－x， 代入初始条件y(0)＝1，y’(0)＝1，得[*]， 有[*]，两边积分得[*] 代入条件y(0)＝1，得[*]，所以所求曲线方程为 [*] 因[*]是周期函数，故取其含x＝0在内且连续的一支为 [*] 当[*]时，y→－∞，故函数无极小值， 当[*]时，y取到极大值，极大值为[*]。
解析 [分析]  由曲率的计算公式和已知条件建立一个二阶微分方程，由曲线经过点(0，1)处及切线方程y＝x＋1，可得初始条件y(0)＝1，y’(0)＝1．
    [评注]  本题是一道综合题，主要考查曲率、可降阶微分方程求解及函数的极值问题，综合相关的知识点构造综合题型是考研命题的一大趋势．
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考研数学二

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