设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当|ε|充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

admin2019-03-12 80

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当|ε|充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁=E．作B₁=P₁^TBP₁，则B₁仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P=P₁Q，则 P^TAP=Q^TP₁^TAP₁Q=E，P^TBP=Q^TP₁^TBP₁Q=Q^TB_tQ．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M=max{|λ₁|，|λ₂|，…，|λ_n|}．则当|ε|＜1／M时,E+εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελ_i＞0，i=1，2，…，n．于是E+εP^TBP正定，P^T(A+εB)P=E+εP^TBP，因此A+εB也正定．

解析

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考研数学三

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设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：(Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)；(Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)=－3f(η)g’(η)。

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设A，B为同阶方阵。（Ⅰ）若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；（Ⅱ）举一个二阶方阵的例子说明（Ⅰ）的逆命题不成立；（Ⅲ）当A，B均为实对称矩阵时，证明（Ⅰ）的逆命题成立。

在xOy平面上，平面曲线方程，则平面曲线与x轴的交点坐标是________。

设随机变量X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，则P{max(X，Y)＞μ}一P{min(X，Y)＜μ}=________。

求极限．

设f(x)为连续函数，证明：

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信赖利益(　　)履行利益是一项基本原则。

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A、Negotiatewithhisboss.B、Calmdownandwaitfortherighttime.C、Quithisjobandgetabetterone.D、Tryhardertobeprom

A、She’sunimpressedbywhatthemantoldher.B、Shedoubtsshecanaffordit.C、Shedoesn’tthinkit’ssuitableforher.D、She’s

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