(2006年试题，18)设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式 (I)验证 (Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．

admin2013-12-27 75

问题 (2006年试题，18)设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且

满足等式

(I)验证

(Ⅱ)若f(1)=0,f^’(1)=1，求函数f(u)的表达式．

选项

答案(I)用复合函数求导法求解．设[*]．依题意，可知[*](1)由对称性，得[*](2)(1)+(2)，得[*](Ⅱ)因为[*](已证)，即uf^’’(u)+f^’(u)=0，推出(uf^’(u))^’=0，积分得uf^’(u)=C₁由f^’(1)=1推出C₁=1，就有[*]再积分得f(u)=lnu+C₁由f(1)=0推出C₂=0．所以f(u)=lnu

解析

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