(2006年试题,18)设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且满足等式 (I)验证 (Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1,求函数f(u)的表达式.

admin2013-12-27  42

问题 (2006年试题,18)设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且满足等式
(I)验证
(Ⅱ)若f(1)=0,f(1)=1,求函数f(u)的表达式.

选项

答案(I)用复合函数求导法求解.设[*].依题意,可知[*](1)由对称性,得[*](2)(1)+(2),得[*](Ⅱ)因为[*](已证),即uf’’(u)+f(u)=0,推出(uf(u))=0,积分得uf(u)=C1由f(1)=1推出C1=1,就有[*]再积分得f(u)=lnu+C1由f(1)=0推出C2=0.所以f(u)=lnu

解析
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