2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β＝ξ1﹢ξ2﹢ξ3． 证明：(I)B不是A的特征向量； (Ⅱ)向量组β，Aβ，A2β线性无关．

设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β＝ξ1﹢ξ2﹢ξ3． 证明：(I)B不是A的特征向量； (Ⅱ)向量组β，Aβ，A2β线性无关．

admin2018-12-21  55
问题 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β＝ξ1﹢ξ2﹢ξ3．
证明：(I)B不是A的特征向量；
(Ⅱ)向量组β，Aβ，A2β线性无关．
选项
答案(I)已知Aβ＝A(ξ1﹢ξ2﹢ξ3)＝λ1ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3． 若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有Aβ＝μβ＝μ(ξ1﹢ξ2﹢ξ3)＝λ1ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3， 从而得(μ－λ1)ξ1﹢(μ－λ2)ξ2﹢(μ－λ3)ξ3＝0． ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，从而得 λ1＝λ2＝λ3＝μ，这和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β＝ξ1﹢ξ2﹢ξ3不是A的特征向量． (Ⅱ)法一用线性无关的定义证． 假设存在数k1，k2，k3，使得 k1β﹢k2Aβ﹢k3A2β＝0． 将β＝ξ1﹢ξ2﹢ξ3及Aξi＝λiξi(i＝1，2，3)代入上式得k1(ξ1﹢ξ2﹢ξ3)﹢k2(λ1ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3)﹢k3(λ12ξ1﹢λ22ξ1﹢λ32ξ3)＝0， 整理得(k1﹢k2λ1﹢k3λ12)ξ1﹢(k1﹢k2λ2﹢k3λ22)ξ2﹢(k1﹢k2λ3﹢k3λ32)ξ3＝0． 因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，则有 [*] 又λi(i＝1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式[*]＝(λ32－λ2)(λ3－λ1)(λ2－λ1)≠0， 故方程组(*)仅有零解，即k1＝k2＝k3＝0，所以β，Aβ，A2β线性无关． 法二 用秩来证．因 (β，Aβ，A2β)＝(ξ1﹢ξ2﹢ξ3，λ1ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3，λ12ξ1﹢λ22ξ2﹢λ32ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)[*](ξ1，ξ2，ξ3)C． 其中｜C｜＝[*]≠0，所以C是可逆矩阵． 故r(β，Aβ，A2β)＝r(ξ1，ξ2，ξ3)＝3．因此β，Aβ，A2β线性无关．
解析
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考研数学二

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