已知，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是( )．

admin2021-07-27 41

问题已知

，α₁是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α₂，α₃是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是( )．

选项 A、[α₁，-α₂，α₃]
B、[α₁，α₂+α₃，α₂-2α₃]
C、[α₁，α₃，α₂]
D、[α₁+α₂，α₁-α₂，α₃]

答案D

解析

即[Aξ₁，Aξ₂，Aξ₃]=[a₁ξ₁，a₂ξ₂，a₃ξ₃]．可见ξ_i是矩阵A属于特征值a_i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此，ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．若ξ是属于特征值λ的特征向量，则-ξ仍是属于特征值λ的特征向量，故(A)正确．若ξ，η是属于特征值λ的特征向量，则k₁ξ₁+k₂η仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α₂，α₃是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α₂+α₃，α₂-2α₃仍是属于λ=6的特征向量，并且α₂+α₃，α₂-2α₃线性无关，故(B)正确．关于(C)，因为α₂，α₃均是λ=6的特征向量，所以α₂，α₃谁在前谁在后均可，即(C)正确．由于αβ，α₂是属于不同特征值的特征向量，因此α₁+α₂，α₁-α₂不再是矩阵A的特征向量，故(D)不正确．

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考研数学二

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