2. 考研
  3. 求解下列微分方程： (1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0； (4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．

求解下列微分方程： (1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0； (4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．

admin2016-01-11  33
问题 求解下列微分方程：
(1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0；

(4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．
选项
答案 (1)设P=x3+xy2，Q=x2y+y3，[*]此方程为全微分方程， u(x，y)=∫(0,0)(x,y)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=∫0x(x3+xy2)dx+∫0yy3dy=[*] 从而通解为[*] (2)化为以[*]为未知函数，y为自变量的伯努利方程． [*] 原方程化为[*]=一xlnx，此为一阶线性方程，通解为δ=Cx+x2(1一lnx)，即原方程通解为[*] (4)方程为全微分方程，P=5x4+3xy2一y3，Q=3x2y一3xy2+y2， u(x，y)=∫(0,0)(x,y)Pdx+Qdy=∫0x5x4dx+∫0y(3x2y-3xy2+y2)dy =[*] 故所求方程的解为[*]
解析
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考研数学二

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