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admin
2019-11-25
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考研数学三
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设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);(2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η)
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任意a∈[0,1],有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1).
设函数f’(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0.证明:
设f(x)在[a,b]上连续且严格单调增加.证明:(a+b)∫abf(x)dx<2∫abxf(x)dx.
f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.证明:存在一点ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
因k值不同,故分情况讨论:当k>1时,原式=[*]即积分收敛;当k=1时,原式=[*]即积分发散;当k<1时,原式=[*],即积分发散.综上,当k>1时,原积分为[*];当k≤1时,原积分发散.
[*]
设向量组(I)与向量组(Ⅱ),若(I)可由(Ⅱ)线性表示,且r(I)=r(Ⅱ)=r.证明:(I)与(Ⅱ)等价.
设函数y(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且满足y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x),y(a)=y(b)=0,其中函数p(x),q(x)与f(x)都在[a,b]上连续,且存在常数q0>0使得q(x)≥q0,存在
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