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已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
admin
2021-02-25
56
问题
已知二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=4x
2
2
-3x
2
3
+4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+8x
2
x
3
．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
选项
答案
矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=-6． 于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y
2
1
+6y
2
2
-6y
2
3
． 对于特征值λ
1
=1，由于 [*] 故对应于特征值λ
1
=1的特征向量可取为ξ
1
=(2，0，-1)
T
． 类似地，对应于特征值λ
2
=6，λ
3
=-6的特征向量可分别取为ξ
2
=(1，5，2)
T
，ξ
3
=(1，-1，2)
T
． 因为A是实对称矩阵，且λ
1
，λ
2
，λ
3
互异，故x
1
，x
2
，x
3
构成正交向量组，将其单位化得 [*] 于是，所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y
2
1
+6y
2
2
-6y
2
3
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2e84777K
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考研数学二
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