已知二次型 f(x1,x2,x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.

admin2021-02-25  31

问题 已知二次型
       f(x1,x2,x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3
用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=6,λ3=-6. 于是,二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y21+6y22-6y23. 对于特征值λ1=1,由于 [*] 故对应于特征值λ1=1的特征向量可取为ξ1=(2,0,-1)T. 类似地,对应于特征值λ2=6,λ3=-6的特征向量可分别取为ξ2=(1,5,2)T,ξ3=(1,-1,2)T. 因为A是实对称矩阵,且λ1,λ2,λ3互异,故x1,x2,x3构成正交向量组,将其单位化得 [*] 于是,所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y21+6y22-6y23

解析
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