已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2021-02-25 60

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=4x²₂-3x²₃+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=-6．于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．对于特征值λ₁=1，由于 [*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，-1)^T．类似地，对应于特征值λ₂=6，λ₃=-6的特征向量可分别取为ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，-1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得 [*] 于是，所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．

解析

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考研数学二

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

考研数学二

求

设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：(1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．(2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：

求极限：

A=，求A的特征值．判断a，b取什么值时A相似于对角矩阵?

设A为3阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式，求行列式｜(3A)－1＝2A｜的值．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程

设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0。若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式。

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫ab(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(c)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设f，g为连续可微函数，u＝f(χ，χy)，v＝g(χ＋χy)，则＝_______．

设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P一1AP=__________．

当事人逾期不履行行政处罚决定的，作出处罚决定的行政机关可以采取每日按罚款数额的3％加处罚款。（）

A、青霉素类B、戊巴比妥C、巴比妥D、妥布霉素E、药用炭与血浆蛋白结合率在20%～24%之间中度结合的药物是

每100ml口服补液盐中，碳酸氢钠的含量是()

此电脑租赁公司的广告属于()。电脑租赁公司不给学生姜远办理D型电脑的租赁手续的行为()。

非公开募集基金的募集环节的体现不包括()。

B注册会计师负责对K公司2印9年度财务报表进行审计。在测试K公司内部控制时，B注册会计师遇到下列事项，请代为做出正确的专业判断。B注册会计师应当考虑采取下列措施来增强某些审计程序不被管理层预见或事先了解()。

许慎在《说文解字》中对“形声”所下的定义是：_，_。

根据学习的定义，下列属于学习的现象是()

在下列情况中不能适用假释的有()。

设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从分布，分布参数为．

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考研数学二

求

设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：(1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．(2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：

求极限：

A=，求A的特征值．判断a，b取什么值时A相似于对角矩阵?

设A为3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式，求行列式｜(3A)－1＝2A*｜的值．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程

设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0。若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式。

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫ab(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(c)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设f，g为连续可微函数，u＝f(χ，χy)，v＝g(χ＋χy)，则＝_______．

设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P一1AP=__________．

当事人逾期不履行行政处罚决定的，作出处罚决定的行政机关可以采取每日按罚款数额的3％加处罚款。（）

A、青霉素类B、戊巴比妥C、巴比妥D、妥布霉素E、药用炭与血浆蛋白结合率在20%～24%之间中度结合的药物是

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许慎在《说文解字》中对“形声”所下的定义是：_______，_______。

根据学习的定义，下列属于学习的现象是()

在下列情况中不能适用假释的有()。

设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从____________分布，分布参数为____________．

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设A为3阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式，求行列式｜(3A)－1＝2A｜的值．

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设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从分布，分布参数为．