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已知二次型 f(x1,x2,x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.
已知二次型 f(x1,x2,x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.
admin
2021-02-25
31
问题
已知二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=4x
2
2
-3x
2
3
+4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+8x
2
x
3
.
用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.
选项
答案
矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=6,λ
3
=-6. 于是,二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y
2
1
+6y
2
2
-6y
2
3
. 对于特征值λ
1
=1,由于 [*] 故对应于特征值λ
1
=1的特征向量可取为ξ
1
=(2,0,-1)
T
. 类似地,对应于特征值λ
2
=6,λ
3
=-6的特征向量可分别取为ξ
2
=(1,5,2)
T
,ξ
3
=(1,-1,2)
T
. 因为A是实对称矩阵,且λ
1
,λ
2
,λ
3
互异,故x
1
,x
2
,x
3
构成正交向量组,将其单位化得 [*] 于是,所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y
2
1
+6y
2
2
-6y
2
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2e84777K
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考研数学二
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