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考研
下列结论正确的是( ).
下列结论正确的是( ).
admin
2014-11-26
62
问题
下列结论正确的是( ).
选项
A、若A,B特征值相同,则A~B
B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C、若A,B特征值相同,则A,B等价
D、A,B的特征值相同且A,B都可对角化,则A~B
答案
D
解析
令
因为|λE一A|=|λE—B|=λ
2
(λ一1),所以A,B特征值相同,但r(A)=2≠r(B)=1,故A,B不相似,(A)不正确;对
显然λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=1,而r(A)=2,所以(B)不正确;由(A),A,B特征值相同,A,B的秩不一定相等,故(C)不正确;设A,B的特征值相同且A,B都可对角化,令其特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,因为A,B都可对角化,所以存在可逆阵P
1
,P
2
,使得P
1
1
AP
1
=P
2
1
BP
2
=
从而有P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
,于是(P
1
P
2
-1
)AP
1
P
2
-1
=B,令P
1
P
2
-1
=P,则P
-1
AP=B,即A~B,选(D).
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考研数学一
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