差分方程yx＋1－2yx＝3x2的通解为__________。

admin2019-12-24 31

问题差分方程y_x＋1－2y_x＝3x²的通解为__________。

选项

答案y_x＝A·2^x－9－6x－3x²，A为任意常数

解析题干方程对应的齐次方程的通解为y_x^*＝A·2^x(其中A为任意常数)。
因此设

＝B₀＋B₁x＋B₂x²，代入给定方程，有
B₀＋B₁(x＋1)＋B₂(x＋1)²－2B₀－2B₁x－2B₂x²＝3x²，
整理得(－B₀＋B₁＋B₂)＋(－B₁＋2B₂)x－B₂x²＝3x²，
比较同次幂的系数得－B₀＋B₁＋B₂＝0，－B₁＋2B₂＝0，－B₂＝3，故
B₀＝－9，B₁＝－6，B₂＝－3。
因此，通解为

＝A·2^x－9－6x－3x²，A为任意常数。
本题考查差分方程的解法，非齐次差分方程的通解为其对应齐次差分方程的通解y_x^*与非齐次差分方程的特解

之和，即

。

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