设A为n阶非零矩阵，存在某正整数m，使Am=O，求A的特征值，并证明A不与对角阵相似．

admin2016-04-11 55

问题设A为n阶非零矩阵，存在某正整数m，使A^m=O，求A的特征值，并证明A不与对角阵相似．

选项

答案设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，两端左乘A，得A²x=λAx=λ²x，再左乘A，得A³x=λ³x，一般地可得A^mx=λ^mx，因A^m=0，得λ^mx=0，因x≠0，得λ=0，故A的特征值全为0．因r(OE—A)=r(—A)≥1，故(OE—A)x=0的基础解系最多含n一1个向量，故A没有n个线性无关的特征向量．亦可用反证法证明A不相似于对角阵．

解析

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