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设A为n阶非零矩阵,存在某正整数m,使Am=O,求A的特征值,并证明A不与对角阵相似.
设A为n阶非零矩阵,存在某正整数m,使Am=O,求A的特征值,并证明A不与对角阵相似.
admin
2016-04-11
73
问题
设A为n阶非零矩阵,存在某正整数m,使A
m
=O,求A的特征值,并证明A不与对角阵相似.
选项
答案
设λ为A的任一特征值,x为对应的特征向量,则有Ax=λx,两端左乘A,得A
2
x=λAx=λ
2
x,再左乘A,得A
3
x=λ
3
x,一般地可得A
m
x=λ
m
x,因A
m
=0,得λ
m
x=0,因x≠0,得λ=0,故A的特征值全为0.因r(OE—A)=r(—A)≥1,故(OE—A)x=0的基础解系最多含n一1个向量,故A没有n个线性无关的特征向量.亦可用反证法证明A不相似于对角阵.
解析
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