设齐次线性方程组有非零解,且A=为正定矩阵,求a,并求当|X|=时XTAX的最大值.

admin2018-11-11  50

问题 设齐次线性方程组有非零解,且A=为正定矩阵,求a,并求当|X|=时XTAX的最大值.

选项

答案因为方程组有非零解,所以[*]=a(a+1)(a-3)=0,即a=-1或a=0或a=3.因为A是正定矩阵,所以aii>0(i=1,2,3),所以a=3.当a=3时,由 [*] 得A的特征值为1,4,10.因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q,使得 f=XTAX[*]y12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32) 而当|X|=[*]时, y12+y22+y32=YTY=YTQYTQY,=(QY)T(QY)=XTX=|X|=2 所以当|x|=[*]时,XTAX的最大值为20(最大值20可以取到,如y1=y2=0,y3=[*]).

解析
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