设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为 y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．

admin2016-01-11 39

问题设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为
y=∫₀^xφ(t)f(x-t)dt．

选项

答案由y"+y=0，得通解 y=C₁ cosx+C₂sinx．再由y(0)=0，y’(0)=1，得C₁=0，C₂=1，故 φ(x)=sinx．下面验证y=∫₀^xsin tf(x一t)dt是非齐次方程初值问题的解．令u=x一t，则有 y=一∫_x⁰sin(x一u)f(u)du=∫₀^xsin(x-u)f(u)du =sinx∫₀^xcos uf(u)du-cosx∫₀^x sinuf(u)du， y’=cos x∫₀^xcos uf(u)du+sin x∫₀^x sin uf(u)du， y”=sinx∫₀^x cosuf(u)du+cos x∫₀^x sinuf(u)du+f(x) =-y+f(x)，且y(0)=y’(0)=0．

解析

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