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设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0,y’(0)=1的解,证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为 y=∫0xφ(t)f(x-t)dt.
设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0,y’(0)=1的解,证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为 y=∫0xφ(t)f(x-t)dt.
admin
2016-01-11
59
问题
设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0,y’(0)=1的解,证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为
y=∫
0
x
φ(t)f(x-t)dt.
选项
答案
由y"+y=0,得通解 y=C
1
cosx+C
2
sinx. 再由y(0)=0,y’(0)=1,得C
1
=0,C
2
=1,故 φ(x)=sinx. 下面验证y=∫
0
x
sin tf(x一t)dt是非齐次方程初值问题的解.令u=x一t,则有 y=一∫
x
0
sin(x一u)f(u)du=∫
0
x
sin(x-u)f(u)du =sinx∫
0
x
cos uf(u)du-cosx∫
0
x
sinuf(u)du, y’=cos x∫
0
x
cos uf(u)du+sin x∫
0
x
sin uf(u)du, y”=sinx∫
0
x
cosuf(u)du+cos x∫
0
x
sinuf(u)du+f(x) =-y+f(x), 且y(0)=y’(0)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ea34777K
0
考研数学二
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