首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
admin
2019-08-12
56
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n-r+1
是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
,其中k
1
+…+k
n-r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
一η
1
,ξ
2
=η
3
一η
1
,…,η
n-r
=η
n-r+1
一η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n-r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n-r
ξ
n-r
=0, 即l
1
(η
2
一η
1
)+l
2
(η
3
一η
1
)+…+l
n-r
(η
n-r+1
一η
1
)=0, 也即一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n-r
η
n-r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)=l
1
=l
2
=…=l
n-r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n-r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x一η
1
为Ax=0的解,因此x一η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,设 x一η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r
=k
2
(η
2
一η
1
)+k
3
(η
3
一η
1
)+…+k
n-r+1
(η
n-r+1
一η
1
), 则x=η
1
(1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
, 令k
1
=1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n-r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3eN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
把y看作自变量,x为因变量,变换方程=x.
设有齐次线性方程组试问a为何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
已知f(x)=,求f’(1).
由方程sinχy+ln(y-χ)=χ确定函数y=y(χ),求.
设有向量组(Ⅰ):α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T.问a取何值时,(Ⅰ)线性相关?当(Ⅰ)线性相关时,求其一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表出.
设向量组(I)α1,α2,…,αs线性无关,(Ⅱ)β1,β2,…,βt线性无关,且αi(i=1,2,…,s)不能由(Ⅱ)β1,β2,…,βt线性表出,βj(j=1,2,…,t)不能由(I)α1,α2,…,αs线性表出,则向量组α1,α2,…,αs,β1,β
已知线性方程组(I)及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ1=[一3,7,2,0]T,ξ2=[一1,一2,0,1]T.求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.
设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组的非零解向量,试判断向量组α1,…,αr,β的线性相关性.
设线性方程组已知(1,一1,1,一1)T是该方程组的一个解.试求:(1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;(2)该方程组满足x2=x3的全部解.
随机试题
精力旺盛、表里如一、刚强、易感情用事,这是哪种气质类型的特点()
男性,30岁,1年前下岗。近5个月来觉得邻居都在议论他,常不怀好意地盯着他,有时对着窗外大骂,自语、自笑,整天闭门不出,拨110电话要求保护。该病人不存在
A.DB.ZC.FD.F0E.TZ值为10℃,一定灭菌温度所产生的灭菌效果与121℃产生的灭菌效力相同时所相当的时间是()
在评价投保申请时,承保人通常十分重视中介人的()
福费廷是英文forfaiting的音译,意为放弃,这种放弃包括()。
著名的张家店战役与下列()景点有关。
社区建设的基本原则有()。
合理确定作业组的规模一般为()人左右为宜。
随着资本一帝国主义的人侵,中国的民族危机和社会危机日益加深,中国社会各阶级都面临着“怎么办”的问题。其中,中国资产阶级提出的主张和方案是()。
在关系模型中,每个关系模式中的关键字
最新回复
(
0
)