首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
admin
2019-08-12
50
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n-r+1
是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
,其中k
1
+…+k
n-r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
一η
1
,ξ
2
=η
3
一η
1
,…,η
n-r
=η
n-r+1
一η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n-r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n-r
ξ
n-r
=0, 即l
1
(η
2
一η
1
)+l
2
(η
3
一η
1
)+…+l
n-r
(η
n-r+1
一η
1
)=0, 也即一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n-r
η
n-r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)=l
1
=l
2
=…=l
n-r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n-r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x一η
1
为Ax=0的解,因此x一η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,设 x一η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r
=k
2
(η
2
一η
1
)+k
3
(η
3
一η
1
)+…+k
n-r+1
(η
n-r+1
一η
1
), 则x=η
1
(1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
, 令k
1
=1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n-r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3eN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(χ),g(χ)均在χ0处可导,且f(χ0)=g(χ0),则f′(χ0)=g′(χ0);(Ⅱ)若χ∈(χ0-δ,χ0+δ),χ≠χ0时f(χ)=g(χ),则f(χ)与g(χ)在χ=χ0处有相同
设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a
[*]
求隐函数xy=ex+y的微分dy.
已知n阶方阵A满足矩阵方程A2一3A一2E=O.证明:A可逆,并求出其逆矩阵A-1.
设A是3阶实矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是三个对应的特征向量,证明:当λ2λ3≠0时,向量组ξ1,A(ξ1+ξ2),A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关.
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4,则Ax=β的通解为__
设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()
设α1,α2,α3均为线性方程组Ax=b的解,下列向量中α1一α2,α1一2α2+α3,(α1一α3),α1+3α2—4α3,是导出组Ax=0的解向量的个数为()
随机试题
一个等差数列的第1项是2001前7项的和为10500,那么这个数列的第10项是多少?
制定企业任务中的“5W1H”中的H是指()
一种生物进入新的适宜其栖息繁衍的地区,种群迅速增长,并对该地区原有生物的生存造成威胁,这种现象称为______。
女,19岁。近半年来无明显诱因出现疲乏无力。3个月前发现左侧胸壁局限性隆起,但无明显疼痛。近日来包块增大,疼痛加重并有低热。查体:左侧胸壁第6肋间隙腋后线有一包块,质软,横径约3cm,表面皮肤暗红,触之轻度压痛,胸部平片无明显异常。最可能诊断是
楼地面是房屋建筑底层地平与楼层的总称。()
有一玻璃劈尖,置于空气中,劈尖角为θ,用波长为λ的单色光垂直照射时,测得相邻明纹间距为l,若玻璃的折射率为n,则θ、λ、l与n之间的关系为()。[2011年真题]
小李夫妻因工作繁忙请父母来照看孩子,但不久就发现,老人与他们的教育方式差别很大,两代人之间时常发生争执。他们认为老人太溺爱孩子,而老人觉得孙子还小,大了自然懂事了,小李夫妻为此很苦恼,向社会工作者求助。社会工作者的下列做法中,恰当的是()
高智商一定有高创造性。
根据蒙代尔一弗莱明模型简要分析开放经济条件下财政政策和货币政策的作用效果。
在一张PPoint幻灯片播放后,要使下一张幻灯片内容的出现呈水平盒状收缩方式或垂直百叶窗方式,应()。A.单击“幻灯片放映”→“预设动画”进行设置B.单击“幻灯片放映”→“设置放映方式”进行设置C.单击“幻灯片放映”→“自定义动画”进行设置D.
最新回复
(
0
)