首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
admin
2019-08-12
96
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n-r+1
是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
,其中k
1
+…+k
n-r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
一η
1
,ξ
2
=η
3
一η
1
,…,η
n-r
=η
n-r+1
一η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n-r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n-r
ξ
n-r
=0, 即l
1
(η
2
一η
1
)+l
2
(η
3
一η
1
)+…+l
n-r
(η
n-r+1
一η
1
)=0, 也即一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n-r
η
n-r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)=l
1
=l
2
=…=l
n-r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n-r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x一η
1
为Ax=0的解,因此x一η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,设 x一η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r
=k
2
(η
2
一η
1
)+k
3
(η
3
一η
1
)+…+k
n-r+1
(η
n-r+1
一η
1
), 则x=η
1
(1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
, 令k
1
=1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n-r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3eN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(χ),g(χ)均在χ0处可导,且f(χ0)=g(χ0),则f′(χ0)=g′(χ0);(Ⅱ)若χ∈(χ0-δ,χ0+δ),χ≠χ0时f(χ)=g(χ),则f(χ)与g(χ)在χ=χ0处有相同
求
设D由抛物线y=x2,y=4x2及直线y=1所围成.用先x后y的顺序,将I=化成累次积分.
已知f(x)=,求f’(1).
求隐函数xy=ex+y的微分dy.
设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,η1=(-1,-1,1)T和η2=(1,-2,-1)T分别是属于1和2的特征向量,求属于3的特征向量,并且求A.
设,B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.
设3阶矩阵A可逆,且A-1=A*为A的伴随矩阵,求(A*)-1.
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组AX=β的通解.
设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组的非零解向量,试判断向量组α1,…,αr,β的线性相关性.
随机试题
简述程序设计语言的分类及其特点?
项目评估报告内容不包括()
己知某R进制数为2019,则R的取值不可能为______________。
下列关于语音和高保真全频带声音的叙述,错误的是()
肥厚型心肌病的非药物治疗措施有
限定性集合资产管理计划投资于业绩优良、成长性高、流动性强的股票等权益类证券以及股票型证券投资基金的资产,不得超过该计划资产净值的15%,并应当遵循分散投资风险的原则。()
“种瓜得瓜,种豆得豆”与“四季循环,昼夜更替”的共同点是()。
2002年6月,上海合作组织在圣彼得堡召开峰会,签署了重要的政治、法律文件,其中有
结合材料,回答问题:材料1党的十八届四中全会,是我们党历史上首次在中央全会上专题研究依法治国议题。全会提出,全面推进依法治国,总目标是建设中国特色社会主义法治体系,建设社会主义法治国家。这就是,在中国共产党领导下,坚持中国特色
调制解调器(Modem)的功能是()。
最新回复
(
0
)