首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
admin
2019-08-12
69
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n-r+1
是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
,其中k
1
+…+k
n-r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
一η
1
,ξ
2
=η
3
一η
1
,…,η
n-r
=η
n-r+1
一η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n-r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n-r
ξ
n-r
=0, 即l
1
(η
2
一η
1
)+l
2
(η
3
一η
1
)+…+l
n-r
(η
n-r+1
一η
1
)=0, 也即一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n-r
η
n-r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)=l
1
=l
2
=…=l
n-r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n-r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x一η
1
为Ax=0的解,因此x一η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,设 x一η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r
=k
2
(η
2
一η
1
)+k
3
(η
3
一η
1
)+…+k
n-r+1
(η
n-r+1
一η
1
), 则x=η
1
(1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
, 令k
1
=1一k
2
一k
3
一…一k
n-r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n-r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3eN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(χ),g(χ)均在χ0处可导,且f(χ0)=g(χ0),则f′(χ0)=g′(χ0);(Ⅱ)若χ∈(χ0-δ,χ0+δ),χ≠χ0时f(χ)=g(χ),则f(χ)与g(χ)在χ=χ0处有相同
[*]
求
设A=,α=为A的特征向量.(1)求a,b及A的所有特征值与特征向量.(2)A可否对角化?若可对角化,求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
求隐函数xy=ex+y的微分dy.
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组AX=β的通解.
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4,则Ax=β的通解为__
要使都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵A为()
设α1,α2,α3均为线性方程组Ax=b的解,下列向量中α1一α2,α1一2α2+α3,(α1一α3),α1+3α2—4α3,是导出组Ax=0的解向量的个数为()
随机试题
急性肾小球肾炎中医辨证分型除风水相搏外尚有
甲公司在一次省政府所举行的管道燃气供应的招标活动中中标,但参加投标活动的乙公司对此次招标活动不满,欲向省政府就此次招标活动申请听证。下列各选项中正确的是:
不论是由建设工程参与方的哪一方提出的设计变更,作出变更决定后都应由( )签发《工程变更单》,指示承包单位按变更的决定组织方可施工。
某新校区抗震模拟实验室工程,主体部分采用钢架结构,施工合同约定钢材由业主供料,其余材料均委托承包商采购。但承包商在以自有机械设备进行主体钢结构制作吊装过程中,由于业主供应钢材不及时导致承包商停工7天,则承包商计算施工机械窝工费时,应按()向业主提出
()是指由财政部发行的,有固定面值及票面利率,通过纸质媒介记录债权债务的国债。
学生的权利有哪些?
课程目标的基本特征有哪些?
某日,甲市振兴区某职业中学学生(14周岁)、吴某(15周岁)、郑某(女、14周岁)、汪某(16周岁)因网络赌博输钱,囊中羞涩,于是商量要弄点钱。见路人杜某随身携带挎包走来,决定抢包。吴某和郑某把风,汪某和周某上前拽走杜某挎包后欲逃跑,被杜某拽住。随即四人对
对违法犯罪分子的改造工作,是()的特殊预防工作。
某投资者在3个月后将获得一笔资金,并希望用该笔资金进行股票投资。但是,该投资者担心股市整体上涨从而影响其投资成本,在这种情况下,可采取()策略。
最新回复
(
0
)