设f(x)在(0，＋∞)内可微，f(1)＝1，且满足，则f(x)＝___________。

admin2019-01-25 46

问题设f(x)在(0，＋∞)内可微，f(1)＝1，且满足

，则f(x)＝___________。

选项

答案[*]

解析本题考查变限积分和微分方程的结合。在已知函数表达式两边同时对x求导，可得齐次线性微分方程，解方程即可求出函数f(x)的表达式。
由已知可得x²f(x)＝2∫^x₁f(t)dt，两边同时对x求导可得
2xf(x)＋x²f＇(x)＝2f(x)，
等价于微分方程2y－2xy＝x²y＇，分离变量得

，解得

根据y(1)＝1可得C＝－2，因此可解得

。

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