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已知ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=(0，0，1)是三维线性空间V的一组基，线性变换T在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为 (1)求T在基ε3，ε2，ε1下的矩阵． (2)求T在基ε1，kε2，ε3下的矩阵，其中k∈R并且k≠0．
已知ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=(0，0，1)是三维线性空间V的一组基，线性变换T在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为 (1)求T在基ε3，ε2，ε1下的矩阵． (2)求T在基ε1，kε2，ε3下的矩阵，其中k∈R并且k≠0．
admin
2020-09-25
102
问题
已知ε
1
=(1，0，0)，ε
2
=(0，1，0)，ε
3
=(0，0，1)是三维线性空间V的一组基，线性变换T在基ε
1
，ε
2
，ε
3
下的矩阵为
(1)求T在基ε
3
，ε
2
，ε
1
下的矩阵．
(2)求T在基ε
1
，kε
2
，ε
3
下的矩阵，其中k∈R并且k≠0．
(3)求T在基ε
1
+ε
2
，ε
2
，ε
3
下的矩阵．
选项
答案
(1)因为T(ε
1
，ε
2
，ε
3
)=(ε
1
，ε
2
，ε
3
)A．所以 Tε
1
=a
11
ε
1
+a
21
ε
2
+a
31
ε
3
，Tε
2
=a
12
ε
1
+a
22
ε
2
+a
32
ε
2
，Tε
3
=a
13
ε
1
+a
23
ε
2
+a
33
ε
3
， 所以Tε
3
=a
33
ε
3
+a
23
ε
2
+a
13
ε
1
，Tε
2
=a
32
ε
3
+a
22
ε
2
+a
12
ε
1
，Tε
1
=a
31
ε
3
+a
21
ε
2
+a
11
ε
1
， 因而T(ε
3
，ε
2
，ε
1
)=(ε
3
，ε
2
，ε
1
)[*] 即T在基ε
3
，ε
2
，ε
1
下的矩阵为[*] (2)因为Tε
1
=a
11
ε
1
+[*]a
21
(kε
2
)+a
31
ε
3
，T(kε
2
)=ka
12
ε
1
+a
22
(kε
2
)+ka
32
ε
3
， Tε
3
=a
13
ε
1
+[*]a
23
(kε
2
)+a
33
ε
3
， 所以T在基ε
1
，kε
2
，ε
3
下的矩阵为[*] (3)因为T(ε
1
+ε
2
)=Tε
1
+Tε
2
=(a
11
+a
12
)ε
1
+(a
21
+a
22
)ε
2
+(a
31
+a
32
)ε
3
=(a
11
+a
12
)(ε
1
+ε
2
)+(a
21
+a
22
一a
11
一a
12
)ε
2
+(a
31
+a
32
)ε
3
， Tε
2
=a
12
(ε
1
+ε
2
)+(a
22
一a
12
)ε
2
+a
32
ε
3
，Tε
3
=a
13
(ε
1
+ε
2
)+(a
23
一a
13
)ε
2
+a
33
ε
3
， 所以T在基ε
1
+ε
2
，ε
2
，ε
3
下的矩阵为[*]
解析
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考研数学三
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