设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫(0，0)(t，t2)f(x，y)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．

admin2018-09-25 43

问题设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫_Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫_(0，0)^(t，t²)f(x，y)dx+xcosydy=t²，求f(x，y)．

选项

答案①∫_L(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关 [*] 积分得f(x，y)=siny+C(x)． ②求f(x，y)转化为求C(x)．因f(x，y)dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx=sinydx+xdsiny+[*] =d[xsiny+∫₀^xC(s)ds]，则有 [xsiny+∫₀^xC(s)ds]｜_(0，0)^(t，t²)=t²，即tsin t²+∫₀^tC(s)ds=t²=>sint²+2t²cost²+C(t)=2t，因此 f(x，y)=siny+2x－sinx²－2x²cosx²．

解析

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