2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=(a-1)x12+(a-1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2． (1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．

设二次型f(x1，x2，x3)=(a-1)x12+(a-1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2． (1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．

admin2019-08-28  38
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=(a-1)x12+(a-1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2．
(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．
选项
答案(1)A=[*]，因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2． (2)A=[*]，由｜λE-A｜=0得λ1=λ2=2，λ3=0． 当λ=2时，由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α1=[*]，α2=[*] 当λ=0时，由(0E-A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为α3=[*] 因为α1，α2两两正交，单位化得 [*] 令[*]，QTAQ=[*]，则f=XTAX[*]YT(QTAQ)Y=2y12+2y22．
解析
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考研数学三

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