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设α1,α2,α3,α4线性无关,β1=2α1+α3+α4,β2=2α1+α3+α4,β3=α2-α4,β4=α3+α4,β5=α2+α3. (1)求r(β1,β2,β3,β4,β5); (2)求β1,β2,β3,β4,β5的一个最大无关组
设α1,α2,α3,α4线性无关,β1=2α1+α3+α4,β2=2α1+α3+α4,β3=α2-α4,β4=α3+α4,β5=α2+α3. (1)求r(β1,β2,β3,β4,β5); (2)求β1,β2,β3,β4,β5的一个最大无关组
admin
2019-06-28
28
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,β
1
=2α
1
+α
3
+α
4
,β
2
=2α
1
+α
3
+α
4
,β
3
=α
2
-α
4
,β
4
=α
3
+α
4
,β
5
=α
2
+α
3
.
(1)求r(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
,β
5
);
(2)求β
1
,β
2
,β
3
,β
4
,β
5
的一个最大无关组.
选项
答案
(1)β
1
,β
2
,β
3
,β
4
,β
5
对α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的表示矩阵为 [*] 用初等行变换化为阶梯形矩阵: [*] 则r(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
,β
5
)=r(C)=3. (2)记C的列向量组为γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
,γ
5
.则由(1)的计算结果知γ
1
,γ
2
,γ
4
是线性无关的.又 (β
1
,β
2
,β
4
)=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)(γ
1
,γ
2
,γ
4
) 得到r(β
1
,β
2
,β
4
)=r(γ
1
,γ
2
,γ
4
)=3, β
1
,β
2
,β
4
线性无关,是β
1
,β
2
,β
3
,β
4
,β
5
的一个最大无关组.
解析
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考研数学二
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