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  3. 设A为n阶矩阵，证明：

设A为n阶矩阵，证明：

admin2021-11-25  26
问题 设A为n阶矩阵，证明：
选项
答案AA*=A*A=｜A｜E 当r(A)=n时，｜A｜≠0,因为｜A*｜=｜A｜n-1,所以｜A*｜≠0，从而r(A*)=n 当r(A)=n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1,又因为｜A｜=0,所以AA*=｜A｜E=O,根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n,而r(A)=n－1,于是得r(A*)≤1,故r(A*)=1; 当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A*=O,故r(A*)=0.
解析
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考研数学二

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