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设f(x)在[0,1]上连续,且满足 f(0)=1,f′(x)=f(x)+ax-a. 求f(x),并求a的值使曲线y=f(x)与x=0,y=0,x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小.
设f(x)在[0,1]上连续,且满足 f(0)=1,f′(x)=f(x)+ax-a. 求f(x),并求a的值使曲线y=f(x)与x=0,y=0,x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小.
admin
2021-10-02
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问题
设f(x)在[0,1]上连续,且满足
f(0)=1,f′(x)=f(x)+ax-a.
求f(x),并求a的值使曲线y=f(x)与x=0,y=0,x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小.
选项
答案
方程f′(x)=f(x)+ax-a可以改写为 f′(x)-f(x)=ax-a, 则 f(x)=e
x
[∫e
-x
(ax—a)dx+C] =e
x
(-axe
-x
+C)=Ce
x
-ax. 由f(0)=1知C=1,所以 f(x)=e
x
-ax. V
x
(a)=π[*](a
2
x
2
一2axe
x
+e
2x
)dx =π[[*](e
2
—1)]. 将V
x
(a)对a求导数,并令V′
x
(a)=π([*]一2)=0,得a=3.又由V″
x
(a)=[*]π>0知,当a=3时,V
x
取最小值,即所求旋转体体积最小,此时 f(x)=e
x
一3x. 注意 求解一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x),不少考生将通解公式 y=e
-∫P(x)dx
[∫Q(x)e
∫P(x)dx
dx+C] 错记为 y=e
∫P(x)dx
[∫Q(x)e
-∫P(x)dx
dx+C], 从而导致结果错误.
解析
先求解一阶微分方程,求出f(x),再求旋转体体积,最后求其最值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/47x4777K
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考研数学三
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