2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且满足 f(0)＝1，f′(x)＝f(x)＋ax－a． 求f(x)，并求a的值使曲线y＝f(x)与x＝0，y＝0，x＝1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

设f(x)在[0，1]上连续，且满足 f(0)＝1，f′(x)＝f(x)＋ax－a． 求f(x)，并求a的值使曲线y＝f(x)与x＝0，y＝0，x＝1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

admin2021-10-02  112
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且满足
    f(0)＝1，f′(x)＝f(x)＋ax－a．
求f(x)，并求a的值使曲线y＝f(x)与x＝0，y＝0，x＝1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．
选项
答案方程f′(x)＝f(x)＋ax－a可以改写为 f′(x)－f(x)＝ax－a， 则 f(x)＝ex［∫e－x(ax—a)dx＋C］ ＝ex(－axe－x＋C)＝Cex－ax． 由f(0)＝1知C＝1，所以 f(x)＝ex－ax． Vx(a)＝π[*](a2x2一2axex＋e2x)dx ＝π［[*](e2—1)］． 将Vx(a)对a求导数，并令V′x(a)＝π([*]一2)＝0，得a＝3．又由V″x(a)＝[*]π＞0知，当a＝3时，Vx取最小值，即所求旋转体体积最小，此时 f(x)＝ex一3x． 注意 求解一阶线性微分方程y′＋P(x)y＝Q(x)，不少考生将通解公式 y＝e－∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx＋C] 错记为 y＝e∫P(x)dx[∫Q(x)e－∫P(x)dxdx＋C]， 从而导致结果错误．
解析 先求解一阶微分方程，求出f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值．
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考研数学三

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