设y(χ)是方程y(4)-y″′+y〞-y′=0的解且当χ→0时y(χ)是χ的3阶无穷小,求y(χ).

admin2018-06-12  35

问题 设y(χ)是方程y(4)-y″′+y〞-y′=0的解且当χ→0时y(χ)是χ的3阶无穷小,求y(χ).

选项

答案令p=y′,则p是三阶线性常系数齐次方程的解, p″′-p〞+p′-p=0 ① 方程①的特征方程λ3-λ2+λ-1=0,即(λ-1)(λ2+1)=0,特征根λ=1,λ=±i. 于是①的通解即所有解p=C1eχ+C2cosχ+C3sinχ,即 y′(χ)=C1eχ+C2cosχ+C3sinχ. 积分得y(χ)=C1eχ+C2sinχ-C3cosχ+C4. ② 下面确定C1,C2,C3,C4之间的关系. 按题意I=[*]为非零常数 [*](C1eχ+C2sinχ-C3cosχ+C4)=C1-C3+C4=0. ③ 由I=[*]为非零常数 [*](C1eχ+C2cosχ+C3sinχ)=C1+C2=0. ④ 又由I=[*]为非零常数 [*](C1eχ-C2sinχ+C3cosχ)=C1+C3=0. ⑤ 最后I=[*](C1-C2). ⑥ 由③,④,⑤得C2=C3=C1=[*]. 记[*]为C,由②得y(χ)=(-eχ+sinχ-cosχ+2)C,其中C≠0为[*]常数. 此时,由⑥式[*]I=-[*]≠0. 因此,最后求得y(χ)=(-eχ+sinχ-cosχ+2)C,其中C≠0为[*]常数.

解析
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