2. 考研
  3. 设y(χ)是方程y(4)－y″′＋y〞－y′＝0的解且当χ→0时y(χ)是χ的3阶无穷小，求y(χ)．

设y(χ)是方程y(4)－y″′＋y〞－y′＝0的解且当χ→0时y(χ)是χ的3阶无穷小，求y(χ)．

admin2018-06-12  52
问题 设y(χ)是方程y(4)－y″′＋y〞－y′＝0的解且当χ→0时y(χ)是χ的3阶无穷小，求y(χ)．
选项
答案令p＝y′，则p是三阶线性常系数齐次方程的解， p″′－p〞＋p′－p＝0 ① 方程①的特征方程λ3－λ2＋λ－1＝0，即(λ－1)(λ2＋1)＝0，特征根λ＝1，λ＝±i． 于是①的通解即所有解p＝C1eχ＋C2cosχ＋C3sinχ，即 y′(χ)＝C1eχ＋C2cosχ＋C3sinχ． 积分得y(χ)＝C1eχ＋C2sinχ－C3cosχ＋C4． ② 下面确定C1，C2，C3，C4之间的关系． 按题意I＝[*]为非零常数 [*](C1eχ＋C2sinχ－C3cosχ＋C4)＝C1－C3＋C4＝0． ③ 由I＝[*]为非零常数 [*](C1eχ＋C2cosχ＋C3sinχ)＝C1＋C2＝0． ④ 又由I＝[*]为非零常数 [*](C1eχ－C2sinχ＋C3cosχ)＝C1＋C3＝0． ⑤ 最后I＝[*](C1－C2)． ⑥ 由③，④，⑤得C2＝C3＝C1＝[*]． 记[*]为C，由②得y(χ)＝(－eχ＋sinχ－cosχ＋2)C，其中C≠0为[*]常数． 此时，由⑥式[*]I＝－[*]≠0． 因此，最后求得y(χ)＝(－eχ＋sinχ－cosχ＋2)C，其中C≠0为[*]常数．
解析
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考研数学一

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