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若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).
若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).
admin
2020-01-15
45
问题
若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).
选项
答案
因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量,故A有n个线性无关的特征向量,从而A必与对角矩阵相似. 现取n个单位向量 ε
i
=(0,…,0,1,0,…,0)
T
, (i=1,2,…,n) 为A的特征向量,其特征值分别为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,那么令P=(ε
1
,ε
2
,…,ε
n
)=E,有 [*] 如果λ
1
≠λ
2
,则A(ε
1
+ε
2
) =λ
1
ε
1
+λ
2
ε
2
. 因为每个n维向量都是A的特征向量,又应有A(ε
1
+ε
2
)=λ(ε
1
+ε
2
),于是 (λ
1
-λ)ε
1
+(λ
2
-λ)ε
2
=0. 由于Aλ
1
-λ,λ
2
-λ不全为0,与ε
1
,ε
2
线性无关相矛盾,所以必有λ
1
=λ
2
. 同理可知λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=k,故A=kE.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4WS4777K
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考研数学一
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