若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

admin2020-01-15 64

问题若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

选项

答案因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似．现取n个单位向量 ε_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T， (i=1，2，…，n) 为A的特征向量，其特征值分别为λ₁，λ₂，…，λ_n，那么令P=(ε₁，ε₂，…，ε_n)=E，有 [*] 如果λ₁≠λ₂，则A(ε₁+ε₂) =λ₁ε₁+λ₂ε₂．因为每个n维向量都是A的特征向量，又应有A(ε₁+ε₂)=λ(ε₁+ε₂)，于是 (λ₁－λ)ε₁+(λ₂－λ)ε₂=0．由于Aλ₁－λ，λ₂－λ不全为0，与ε₁，ε₂线性无关相矛盾，所以必有λ₁=λ₂．同理可知λ₁=λ₂=…=λ_n=k，故A=kE．

解析

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考研数学一

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若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

考研数学一

设向量场A＝(x2z，xy2，yz2)，在点P(2，2，1)处沿方向l＝(2，2，1)，则＝，＝__．

二次曲面yz＋zx一xy＝1为()

设函数y(x)在区间［1，＋∞)上有一阶连续导数，且满足及求y(x)．

设二次型f(x1，x2，…，xn)＝xTAx，且｜A｜＜0．(Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0；(Ⅱ)设A＝，是否存在ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．若存在ξ0，则求ξ0，若不存在，说明理由．

设A＝(α1，α2，α3，α4)，其中αi(i＝1，2，3，4)是n维列向量，已知Ax＝0的基础解系为ξ1＝(－2，0，1，0)T，ξ2＝(1，0，0，1)T，则下列向量组中线性无关的是()

设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(常数R＞0)的上半部分，方向为上侧．则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是()

设z=z(x，y)是由9x2—54xy+90y2—6yz一z2+18=0确定的函数，求证z=z(x，y)一阶偏导数并求驻点；

若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

(I)设f(x)=4x3+3x2一6x，求f(x)的极值点；(Ⅱ)设有x=∫0ye-t2(y∈(一∞，+∞))，它的反函数是y=y(x)，求y=y(x)的定义域及拐点．

7个月男婴，发热、咳嗽5d，近2d呕吐，今突然抽搐，曾用过青霉素肌注3d，生后已接种BCG。体查：嗜睡，前囟饱满，颈无抵抗感，双肺少许细湿哕音，巴氏征(+)，克、布氏征(一)；血常规WBC17×109／L，N0．66，L0．34；脑脊液外观

与《中华民国临时约法》相比，《中华民国约法》主要的变化是()。

读《红楼梦》后，你会在脑中勾画出许多人物的形象，这属于()。

按照国家标准规定，一套建筑施工图中的总图以米为单位，其余均以厘米为单位。()

甲、乙双方因合同纠纷于2009年4月22日提起民事诉讼，人民法院于2009年5月4日作出了判决书并发生了法律效力，但甲对此判决不服，要求申请再审的，则应当在()前提出。

会计资料的真实性是指()。

不等式｜x2+2x+a｜≤1的解集为空集．(1)a＜0．(2)a＞2．

设函数f(x，y)连续，则二次积分f(x，y)dy等于_______．

A、Nevermind.B、Yes,thankyou.C、Don’tmentionit.B

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二次曲面yz＋zx一xy＝1为()

设函数y(x)在区间［1，＋∞)上有一阶连续导数，且满足及求y(x)．

设二次型f(x1，x2，…，xn)＝xTAx，且｜A｜＜0．(Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0；(Ⅱ)设A＝，是否存在ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．若存在ξ0，则求ξ0，若不存在，说明理由．

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(I)设f(x)=4x3+3x2一6x，求f(x)的极值点；(Ⅱ)设有x=∫0ye-t2(y∈(一∞，+∞))，它的反函数是y=y(x)，求y=y(x)的定义域及拐点．

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甲、乙双方因合同纠纷于2009年4月22日提起民事诉讼，人民法院于2009年5月4日作出了判决书并发生了法律效力，但甲对此判决不服，要求申请再审的，则应当在()前提出。

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设函数f(x，y)连续，则二次积分f(x，y)dy等于_______．

A、Nevermind.B、Yes,thankyou.C、Don’tmentionit.B

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