若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).

admin2020-01-15  45

问题 若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量,证明A是数量矩阵(即A=kE,E是n阶单位矩阵).

选项

答案因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量,故A有n个线性无关的特征向量,从而A必与对角矩阵相似. 现取n个单位向量 εi=(0,…,0,1,0,…,0)T, (i=1,2,…,n) 为A的特征向量,其特征值分别为λ1,λ2,…,λn,那么令P=(ε1,ε2,…,εn)=E,有 [*] 如果λ1≠λ2,则A(ε12) =λ1ε12ε2. 因为每个n维向量都是A的特征向量,又应有A(ε12)=λ(ε12),于是 (λ1-λ)ε1+(λ2-λ)ε2=0. 由于Aλ1-λ,λ2-λ不全为0,与ε1,ε2线性无关相矛盾,所以必有λ12. 同理可知λ12=…=λn=k,故A=kE.

解析
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