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  3. 若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

admin2020-01-15  51
问题 若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．
选项
答案因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似． 现取n个单位向量 εi=(0，…，0，1，0，…，0)T， (i=1，2，…，n) 为A的特征向量，其特征值分别为λ1，λ2，…，λn，那么令P=(ε1，ε2，…，εn)=E，有 [*] 如果λ1≠λ2，则A(ε1+ε2) =λ1ε1+λ2ε2． 因为每个n维向量都是A的特征向量，又应有A(ε1+ε2)=λ(ε1+ε2)，于是 (λ1－λ)ε1+(λ2－λ)ε2=0． 由于Aλ1－λ，λ2－λ不全为0，与ε1，ε2线性无关相矛盾，所以必有λ1=λ2． 同理可知λ1=λ2=…=λn=k，故A=kE．
解析
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考研数学一

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