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若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．
若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．
admin
2020-01-15
61
问题
若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．
选项
答案
因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似． 现取n个单位向量 ε
i
=(0，…，0，1，0，…，0)
T
， (i=1，2，…，n) 为A的特征向量，其特征值分别为λ
1
，λ
2
，…，λ
n
，那么令P=(ε
1
，ε
2
，…，ε
n
)=E，有 [*] 如果λ
1
≠λ
2
，则A(ε
1
+ε
2
) =λ
1
ε
1
+λ
2
ε
2
． 因为每个n维向量都是A的特征向量，又应有A(ε
1
+ε
2
)=λ(ε
1
+ε
2
)，于是 (λ
1
－λ)ε
1
+(λ
2
－λ)ε
2
=0． 由于Aλ
1
－λ，λ
2
－λ不全为0，与ε
1
，ε
2
线性无关相矛盾，所以必有λ
1
=λ
2
． 同理可知λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=k，故A=kE．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4WS4777K
0
考研数学一
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