2. 考研
  3. 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy，把f(x1,x2,x3)化为标准形；

已知二次型f(x1,x2,x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy，把f(x1,x2,x3)化为标准形；

admin2019-01-23  22
问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。
求正交变换x=Qy，把f(x1,x2,x3)化为标准形；
选项
答案由(I)中结论a=0，则A=[*]，由特征多项式 |λE—A|=[*]=(λ一2)[(λ一1)2一1]=λ(λ一2)2 得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0。 当λ=2，由(2E一A)x=0得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T。 当λ=0，由(0E一A)x=0得特征向量α3=(1，一1，0)T。 容易看出α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化： γ1=[*](1，1，0)T，γ2=(0，0，1)T，γ3=[*](1，一1，0)T。 那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，则在正交变换X=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化为标准形f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=2y12+2y22。
解析
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考研数学三

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