设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f′(x)－2f(x)+xe2x]ydx+f′(x)dy与路径无关，求f(x)．

admin2020-03-05 51

问题设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f′(x)－2f(x)+xe^2x]ydx+f′(x)dy与路径无关，求f(x)．

选项

答案因为曲线积分与路径无关，所以有 f″(x)=3f′(x)－2f(x)+xe^2x，即f″(x)－3f′(x)+2f(x)=xe^2x，由特征方程λ²－3λ+2=0得λ₁=1，λ₂=2，则方程f″(x)－3f′(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^2x，令特解f₀(x)=x(ax+b)e^2x，代入原微分方程得a=[*]，b=－1，故所求f(x)=C₁e^x+C₂e^2x+[*]

解析

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