若∫sin[f(x)]dx=xsin[f(x)]一∫cos[f(x)]dx,则f(x)=__________.

admin2021-07-05  71

问题 若∫sin[f(x)]dx=xsin[f(x)]一∫cos[f(x)]dx,则f(x)=__________.

选项

答案ln|x|+C

解析 由于∫uv‘dx=uv—∫u‘vdx,又
∫sin[f(x)]dx=xsin[f(x)]—∫cos[f(x)]dx             (*)
若记u=sin[f(x)],v’=1,可知
u’=f’(x)·cos[f(x)],v=x,
从而有   ∫sin[f(x)]dx=xsin[f(x)]—∫f’(x)·x·cos[f(x)]dx
将上式与(*)对照,可知应有
f’(x)·x=1,f’(x)=
因此 f(x)=
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