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设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)],试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y|x=2=2/9
设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)],试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y|x=2=2/9
admin
2019-07-01
61
问题
设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t
2
f(t)-f(1)],试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y|
x=2
=2/9的解.
选项
答案
由题设,旋转体体积应为π∫
1
t
f
2
(x)dx,则 [*] 两边对t求导,得f
2
(t)=1/3[2tf(t)+t
2
f
’
(t)], 即t
2
f
’
(t)-3f
2
(t)+2tf(t)=0. [*] 又由已知f(2)=2/9,则可解出C=-1,从而f(t)=t/(1+t
3
),所以y=f(x)=x/(1+x
3
)
解析
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0
考研数学一
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