2. 考研
  3. 设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)]，试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9

设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)]，试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9

admin2019-07-01  56
问题 设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)]，试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9的解．
选项
答案由题设，旋转体体积应为π∫1tf2(x)dx，则 [*] 两边对t求导，得f2(t)=1/3[2tf(t)+t2f’(t)]， 即t2f’(t)-3f2(t)+2tf(t)=0． [*] 又由已知f(2)=2/9，则可解出C=-1，从而f(t)=t/(1+t3)，所以y=f(x)=x/(1+x3)
解析
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考研数学一

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