设有方程其中u=u(x，y，z)．试证：｜gradu｜2=2 A.gradu，其中A=(x，y，z)．

admin2018-09-25 53

问题设有方程

其中u=u(x，y，z)．试证：｜gradu｜²=2 A.gradu，其中A=(x，y，z)．

选项

答案欲证结论等价于 u_x’²+u_y’²+u_z’²=2(xu_x’+yu_y’+zu_z’)． ①式对两边对x求导得 [*] 由轮换对称性，有 [*] ②③④式平方后相加，并在等式两端约去公因子，得 [*] ②③④式分别乘以x，y，z后相加，结合①式，得 [*] 将⑤⑥式联立，即得证．

解析

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设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．
证明
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求线性方程组的通解，并求满足条件的所有解．
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