设 A=，B=(kE+A)2，(k为实数) 求对角矩阵D，使B与D相似；并问k取何值时B为正定矩阵?

admin2018-08-03 27

问题设
A=

，B=(kE+A)²，(k为实数)
求对角矩阵D，使B与D相似；并问k取何值时B为正定矩阵?

选项

答案易求得实对称矩阵A的特征值为2，2，0，故存在可逆矩阵P，使^—1AP=[*]，故P^—1BP=P^—1(kE+A)²P=[P^—1(kE+A)P]²=(kE+P^—1AP)²=[*]=D，即B与对角矩阵D相似；且由D知B的特征值为(2+k)²，(2+k)²，k²，因为实对称矩阵正定当且仅当它的特征值都大于零，故B正定→k≠一2且k≠0．

解析

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考研数学一

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