2. 考研
  3. 设 A=，B=(kE+A)2，(k为实数) 求对角矩阵D，使B与D相似；并问k取何值时B为正定矩阵?

设 A=，B=(kE+A)2，(k为实数) 求对角矩阵D，使B与D相似；并问k取何值时B为正定矩阵?

admin2018-08-03  48
问题 设
A=，B=(kE+A)2，(k为实数)
求对角矩阵D，使B与D相似；并问k取何值时B为正定矩阵?
选项
答案易求得实对称矩阵A的特征值为2，2，0，故存在可逆矩阵P，使—1AP=[*]，故P—1BP=P—1(kE+A)2P=[P—1(kE+A)P]2=(kE+P—1AP)2=[*]=D，即B与对角矩阵D相似；且由D知B的特征值为(2+k)2，(2+k)2，k2，因为实对称矩阵正定当且仅当它的特征值都大于零，故B正定→k≠一2且k≠0．
解析
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考研数学一

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