[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．

admin2019-04-08 46

问题 [2013年] 设A=(a_ij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，A_ij为a_ij的代数余子式．若a_ij+A_ij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．

选项

答案-1

解析由a_ij=一A_ij，则(a_ij)^T=一(A_ij)^T=一(A_ji)，即A^T=一A^*，从而
｜A｜=｜A^T｜=｜—A^*｜=(一1)³｜A｜^3-1=一｜A｜²．
即｜A｜²+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由
｜A｜=a_i1A_i1+a_i2A_i2+a_i3A_i3=一(a_i1²+a_i2²+a_i3²)=0 (i=1，2，3)
得到a_ij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1.

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