[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=______.

admin2019-04-08  45

问题 [2013年]  设A=(aij)是三阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=______.

选项

答案-1

解析 由aij=一Aij,则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji),即AT=一A*,从而
|A|=|AT|=|—A*|=(一1)3|A|3-1=一|A|2
即|A|2+|A|=|A|(|A|+1)=0,故|A|=0或|A|=一1.若|A|=0,则由
|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0  (i=1,2,3)
得到aij=0(i,j=1,2,3),即矩阵A为零矩阵.这与假设矛盾,故|A|=一1.
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