设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。求导数f’(x)；

admin2019-06-28 47

问题设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f^’(x)+f(x)一

∫₀^xf(t)dt=0。
求导数f^’(x)；

选项

答案由题设知 (x+1)f^’(x)+(x+1)f(x)一∫₀^xf(t)dt=0。上式两边对x求导，得 (x+1)f^’’(x)=一(x+2)f^’(x)，即有[*]。两边积分，得 ln｜f^’(x)｜=一x一ln(x+1)+C₁，所以 f^’(x)=[*]。在题设等式中令x=0，得f^’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f^’(0)=一1，代入f^’(x)的表达式，得C=一1，故有 f^’(x)=[*]。

解析

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