设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x);

admin2019-06-28  31

问题 设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f(x)+f(x)一0xf(t)dt=0。
求导数f(x);

选项

答案由题设知 (x+1)f(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。 上式两边对x求导,得 (x+1)f’’(x)=一(x+2)f(x), 即有[*]。 两边积分,得 ln|f(x)|=一x一ln(x+1)+C1, 所以 f(x)=[*]。 在题设等式中令x=0,得f(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1,于是f(0)=一1,代入f(x)的表达式,得C=一1,故有 f(x)=[*]。

解析
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