2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x)；

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x)；

admin2019-06-28  51
问题 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。
求导数f’(x)；
选项
答案由题设知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。 上式两边对x求导，得 (x+1)f’’(x)=一(x+2)f’(x)， 即有[*]。 两边积分，得 ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C1， 所以 f’(x)=[*]。 在题设等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表达式，得C=一1，故有 f’(x)=[*]。
解析
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考研数学二

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