已知A=是n阶矩阵,求A的特征值、特征向量,并求可逆矩阵P使P-1AP=Λ。

admin2019-01-19  45

问题 已知A=是n阶矩阵,求A的特征值、特征向量,并求可逆矩阵P使P-1AP=Λ。

选项

答案A的特征多项式为 [*] =(λ一2n+1)(λ—n+1)n-1, 则A的特征值为λ1=2n—l,λ2=n一1,其中λ2=n一1为n一1重根。 当λ1=2n一1时,解齐次方程组(λ1E一A)x=0,对系数矩阵作初等变换,有 [*] 得到基础解系α1=(1,1,…,1)T。 当λ2=n一1时,齐次方程组(λ2E—A)x=0等价于x1+x2+…+xn=0,得到基础解系 α2=(一1,1,0,…,0)T,α3=(一l,0,1,…,0)T,…,αn=(一1,0,0,…,1)T, 则A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn,其中k1≠0,k2,k3,…,kn不同时为零。 令P=[*],则有P-1AP=[*]。

解析
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