设α1，α2，...，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是

admin2020-03-24 42

问题设α₁，α₂，...，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是

选项 A、若α₁，α₂，...，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，...，Aα_s线性相关．
B、若α₁，α₂，...，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，...，Aα_s线性无关．
C、若α₁，α₂，...，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，...，Aα_s线性相关．
D、若α₁，α₂，...，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，...，Aα_s线性无关．

答案A

解析因为(Aα₁，Aα₂，...，Aα_s=A(α₁，α₂，...，α_s)，所以
r(Aα₁，Aα₂，...，Aα_s)≤r(α₁，α₂，...，α_s)．
因为α₁，α₂，...，α_s线性相关，有r(α₁，α₂，...，α_s) r(Aα₁，Aα₂，...，Aα_s) 所以Aα₁，Aα₂，...，Aα_s线性相关，故应选(A)．
注意，当α₁，α₂，...，α_s线性无关时，若秩r(A)=n，则Aα₁，Aα₂，...，Aα_s线性无关，否则Aα₁，Aα₂，...，Aα_s
可以线性相关．因此，(C)，(D)均不正确．

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考研数学三

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