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  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX＝0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX＝0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2019-03-12  52
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX＝0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．
选项
答案设有一组数λ0，λ1，…，λk-1使λ0α＋λ1Aα＋…＋λk-1Ak-1α＝0，两端左乘Ak-1，由于Ak+mα＝0(m＝0，1，2，…)，[*]λ0Ak-1α＝0，又Ak-1α≠0，[*]λ0＝0，同理可证λ1＝…＝λk-1＝0，故α，Aα，…，Ak-1α线性无关．
解析
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考研数学三

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