设方程组(Ⅰ)：α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中，r(B)=2． (1)求方程组(Ⅰ)的基础解系； (2)求方程组(Ⅱ)：BX=0的基础解系； (3)(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．

admin2022-04-02 120

问题设方程组(Ⅰ)：

α₁，α₂，α₃，α₄为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，
其中

，r(B)=2．
(1)求方程组(Ⅰ)的基础解系；
(2)求方程组(Ⅱ)：BX=0的基础解系；
(3)(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．

选项

答案(1)方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ₁=[*] (2)因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量， α₄-α₁=[*]，α₂+α₃-2α₁=[*]为方程组(Ⅱ)的基础解系； (3)方程组(Ⅰ)的通解为k₁ξ₁+k₂ξ₂=[*] 取k₂=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，1，1，1)^T(其中k为任意常数)．

解析

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考研数学三

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设方程组(Ⅰ)：α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中，r(B)=2． (1)求方程组(Ⅰ)的基础解系； (2)求方程组(Ⅱ)：BX=0的基础解系； (3)(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．

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设α1，α2，…，αm-1(m≥3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论α1能否由α2，α3，…，αm-1线性表示?

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

已知方程组有解，证明：方程组无解．

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12－y22－y32，又知矩阵B满足矩阵方程BA－1=2AB+4E，且Aα=α，其中α=[1，1，－1]T，A为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，满足aTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求A的特征值和特征向量．

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