2. 考研
  3. 设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1.

设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1.

admin2021-01-19  115
问题  设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1.
选项
答案 利用矩阵乘法的结合律证明． A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=E一2ξξT+(ξTξ)ξξT． ① 如果A2=A，则E一2ξξT+(ξTξ)ξξT=E一ξξT，即ξξT(1一Tξ)=0． 因ξ≠0，故ξξT≠0．因而1一ξTξ=0，即ξTξ=1． 反之，如果ξTξ=1，则由式①有A2=E一2ξξT+ξξT=E一ξξT=A．
解析
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考研数学二

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