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设A=E一ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明:(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1.
设A=E一ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明:(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1.
admin
2021-01-19
122
问题
设A=E一ξξ
T
,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξ
T
是ξ的转置.证明:(1)A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ=1.
选项
答案
利用矩阵乘法的结合律证明. A
2
=(E一ξξ
T
)(E一ξξ
T
)=E一2ξξ
T
+ξ(ξ
T
ξ)ξ
T
=E一2ξξ
T
+(ξ
T
ξ)ξξ
T
. ① 如果A
2
=A,则E一2ξξ
T
+(ξ
T
ξ)ξξ
T
=E一ξξ
T
,即ξξ
T
(1一
T
ξ)=0. 因ξ≠0,故ξξ
T
≠0.因而1一ξ
T
ξ=0,即ξ
T
ξ=1. 反之,如果ξ
T
ξ=1,则由式①有A
2
=E一2ξξ
T
+ξξ
T
=E一ξξ
T
=A.
解析
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考研数学二
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