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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x-a)(x-b)dx.
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x-a)(x-b)dx.
admin
2019-07-22
81
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证:
∫
a
b
f(x)dx=
(b-a)[f(a)+f(b)]+
∫
a
b
f"(x)(x-a)(x-b)dx.
选项
答案
连续利用分部积分有 ∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x-b)=f(a)(b-a)-∫
a
b
f’(x)(x-b)d(x-a) =f(a)(b-a)+∫
a
b
(x-a)d[f’(x)(x-b) =f(a)(b-a)+∫
a
b
(x-a)df(x)+∫
a
b
f"(x)(x-a)(x-b)dx =f(a)(b-a)+f(b)(b-a)-∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f"(x)(x-a)(x-b)dx. 移项后得 ∫
a
b
f(x)dx=[*](b-a)[f(a)+f(b)]+[*]∫
a
b
f"(x)(x-a)(x-b)dx.
解析
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考研数学二
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