设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．

admin2022-09-08 11

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+4x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃，则f(x₁，x₂，x₃)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．

选项 A、单叶双曲面
B、双叶双曲面
C、椭球面
D、柱面

答案B

解析二次型的矩阵为

，则
　　

=(λ+1)²(λ-5)，从而可知矩阵A的特征值为5，-1，-1，进一步可得在正交变换下二次型的标准形为5y₁²-y₂²-y₃²，则f(x₁，x₂，x₃)=2表示的二次曲面为5y₁²-y₂²y₃²=2，即

，
　　显然对应的曲面为双叶双曲面．

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