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考研
计算行列式Dn=,其中a1a2…an≠0.
计算行列式Dn=,其中a1a2…an≠0.
admin
2020-06-05
40
问题
计算行列式D
n
=
,其中a
1
a
2
…a
n
≠0.
选项
答案
方法一 (拆分法、递推法) [*] 在上式右端的第一个行列式中,第i(1≤i≤n-1)行减去第n行,则得该行列式的值为 a
1
a
2
…a
n-1
;在上式右端第二个行列式中,按最后一列展开,即可知该行列式的值等于a
n
D
n-1
.于是,有D
n
=a
n
D
n-1
+a
1
a
2
…a
n-1
,此即为递推公式,其归纳基础为D
1
=1+a
1
,于是 D
n
=a
n
D
n-1
+a
1
a
2
…a
n-1
=a
1
a
2
…a
n
[*] =a
1
a
2
…a
n
[*]=… =a
1
a
2
…a
n
[*] 方法二 (降阶法) [*] =(1+a
n
)a
1
a
2
…a
n-1
+a
1
a
2
…a
n-3
a
n-2
a
n
+…+a
2
a
3
…a
n
[*] 方法三 (加边法) [*] 方法四 [*] 方法五 (数学归纳法) 当n=1时, D
1
=1+a
1
=a
1
(1+[*]) 当n=2时, D
2
=[*]=a
1
a
2
+a
1
+a
2
=a
1
a
2
[*] 假设n=k时,有 D
k
=a
1
a
2
…a
k
[*] 那么,当n=k+1时,类似方法一的推导递推公式,得到 D
k+1
=a
1
a
2
…a
k1
+a
k+1
D
k
=a
1
a
2
…a
k
+a
k+1
a
1
a
2
…a
k
[*] =a
1
a
2
…a
k+1
[*] =a
1
a
2
…a
k+1
[*] 因此对于一切正整数n,有D
n
=a
1
a
2
…a
n
[*]
解析
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0
考研数学一
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