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设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T. (1)计算ABT与ATB; (2)求矩阵ABT的秩r(ABT); (3)设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.
设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T. (1)计算ABT与ATB; (2)求矩阵ABT的秩r(ABT); (3)设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.
admin
2019-03-21
75
问题
设有两个非零矩阵A=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
,B=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
.
(1)计算AB
T
与A
T
B;
(2)求矩阵AB
T
的秩r(AB
T
);
(3)设C=E一AB
T
,其中E为n阶单位阵.证明:C
T
C=E一BA
T
—AB
T
+BB
T
的充要条件是A
T
A=1.
选项
答案
(1)AB
T
=[*],A
T
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
n
b
n
. (2)因AB
T
各行(或列)是第1行(列)的倍数,又A,B皆为非零矩阵,故r(AB
T
)=1. (3)由于C
T
C=(E一AB
T
)
T
(E一AB
T
)=(E一BA
T
)(E一AB
T
)=E一BA
T
一AB
T
+BA
T
AB
T
. 故若要求C
T
C=E一BA
T
一AB
T
+BB
T
,则BA
T
AB
T
一BB
T
=O,B(A
T
A一1)B
T
=O,即 (A
T
A一1)BB
T
=O. 因为B≠O,所以BB
T
≠O.故C
T
C=E一BA
T
一AB
T
+BB
T
的充要条件是A
T
A=1.
解析
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考研数学二
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