2. 考研
  3. 设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

admin2019-03-21  71
问题 设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．
(1)计算ABT与ATB；
(2)求矩阵ABT的秩r(ABT)；
(3)设C=E一ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．
选项
答案(1)ABT=[*]，AT=a1b1+a2b2+anbn． (2)因ABT各行(或列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(ABT)=1． (3)由于CTC=(E一ABT)T(E一ABT)=(E一BAT)(E一ABT)=E一BAT一ABT+BATABT． 故若要求CTC=E一BAT一ABT+BBT，则BATABT一BBT=O，B(ATA一1)BT=O，即 (ATA一1)BBT=O． 因为B≠O，所以BBT≠O．故CTC=E一BAT一ABT+BBT的充要条件是ATA=1．
解析
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考研数学二

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