f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξE(-1,1).使得f′″(ξ)=3.

admin2022-08-19  40

问题 f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξE(-1,1).使得f′″(ξ)=3.

选项

答案由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f′(0)(-1-0)+[f″(0)/2!](-1-0)2+[f′″(ξ1)/3!](-1-0)3,(-1-0)3,ξ1∈(-1,0), f(1)=f(0)+f′(0)(1-0)+[f″(0)/2!](1-0)2+(1-0)3,ξ2∈(0,1), 即f(0)+[f″(0)/2!]-[f′″(ξ1)/6]=0,f(0)+[f″(0)/2!]+[f′″(ξ0)/6]=1, 两式相减得f′″(ξ1)+f′″(ξ2)=6. 因为f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,所以f′″(x)在[ξ1,ξ2]上连续,由连续函数最值定理,f′″(x)在[ξ1,ξ2]上取到最小值m和最大值M,故2m≤f′″(ξ1)+f′″(ξ2)≤2M,即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理,存在ξ∈[ξ1,ξ2][*](-1,1),使得f′″(ξ)=3.

解析
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