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f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξE(-1,1).使得f′″(ξ)=3.
f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξE(-1,1).使得f′″(ξ)=3.
admin
2022-08-19
65
问题
f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξE(-1,1).使得f′″(ξ)=3.
选项
答案
由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f′(0)(-1-0)+[f″(0)/2!](-1-0)
2
+[f′″(ξ
1
)/3!](-1-0)
3
,(-1-0)
3
,ξ
1
∈(-1,0), f(1)=f(0)+f′(0)(1-0)+[f″(0)/2!](1-0)
2
+(1-0)
3
,ξ
2
∈(0,1), 即f(0)+[f″(0)/2!]-[f′″(ξ
1
)/6]=0,f(0)+[f″(0)/2!]+[f′″(ξ
0
)/6]=1, 两式相减得f′″(ξ
1
)+f′″(ξ
2
)=6. 因为f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,所以f′″(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,由连续函数最值定理,f′″(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上取到最小值m和最大值M,故2m≤f′″(ξ
1
)+f′″(ξ
2
)≤2M,即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](-1,1),使得f′″(ξ)=3.
解析
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考研数学三
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