2. 考研
  3. f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f′(0)=0.证明：存在ξE(-1，1).使得f′″(ξ)=3.

f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f′(0)=0.证明：存在ξE(-1，1).使得f′″(ξ)=3.

admin2022-08-19  77
问题 f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f′(0)=0.证明：存在ξE(-1，1).使得f′″(ξ)=3.
选项
答案由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f′(0)(-1-0)+[f″(0)/2!](-1-0)2+[f′″(ξ1)/3!](-1-0)3，(-1-0)3，ξ1∈(-1，0)， f(1)=f(0)+f′(0)(1-0)+[f″(0)/2!](1-0)2+(1-0)3，ξ2∈(0，1)， 即f(0)+[f″(0)/2!]-[f′″(ξ1)/6]=0，f(0)+[f″(0)/2!]+[f′″(ξ0)/6]=1， 两式相减得f′″(ξ1)+f′″(ξ2)=6. 因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f′″(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f′″(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f′″(ξ1)+f′″(ξ2)≤2M，即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](-1，1)，使得f′″(ξ)=3.
解析
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考研数学三

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