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设二次型xTAx=ax12+2x22-x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,实对称矩阵A满足AB=0,其中B= (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同,并说明理由。
设二次型xTAx=ax12+2x22-x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,实对称矩阵A满足AB=0,其中B= (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同,并说明理由。
admin
2020-01-15
14
问题
设二次型x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
-x
3
2
+8x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,实对称矩阵A满足AB=0,其中B=
(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同,并说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A=[*],因为AB=0,所以 [*] 从而[*]解得[*] 下面求A的特征值 [*] A的特征值为0,6,-6。 当λ=0时,求解线性方程组(OE-A)x=0,解得a
1
=(1,0,1)
T
; 当λ=6时,求解线性方程组(6E-A)x=0,解得a
2
=(-1,-2,1)
T
; 当λ=-6时,求解线性方程组(-6E-A)x=0,解得a
3
=(-1,1,1)
T
。 下面将a
1
a
2
a
3
单位化 [*] 令 [*] 则二次型通过正交变换x=Qy化为标准型f=6y
2
2
-6y
3
2
,其中 [*] (Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)=2,r(B)=1,由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6WS4777K
0
考研数学一
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