设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)，试证明对任意x，f’(x)都存在，并求f(x)．

admin2016-01-15 54

问题设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)，试证明对任意x，f’(x)都存在，并求f(x)．

选项

答案将x=y=0代入f(x+y)=f(x)e^yf(y)e^x，得f(0)=0，为证明f’(x)存在，则由导数定义 [*] =f(x)+f’(0)e^x=f(x)+ae^x．所以对任意x，f’(x)都存在，且f’(x)=f(x)+ae^x．解此一阶线性方程，得 f(x)=[*]=e^x(ax+C)．又因f(0)=0，得C=0，即f(x)=axe^x．

解析

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