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设矩阵A=的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
设矩阵A=的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
admin
2018-07-27
51
问题
设矩阵A=
的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
选项
答案
A的特征多项式为 [*] =(λ-2)(λ
2
-8λ+18+3a) (1)若λ=2是f(λ)的二重根,则有(λ
2
-8λ+18+3a)|
λ=2
=2
2
-16+18+3a=3a+6=0,解得a=-2. 当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵 [*] 的秩为1,故对应于二重特征值2的线性无关特征向量有两个,从而A可相似对角化. (2)若λ=2不是f(λ)的二重根,则λ
2
-8λ+18+3a为完全平方,从而18+3a=16,解得a=-2/3. 当a=-2/3时,A的特征值为2,4,4,矩阵 [*] 的秩为2,故A的对应于特征值4的线性无关特征向量只有一个,故A不能相似于对角矩阵.
解析
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考研数学三
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