设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2018-07-27 51

问题设矩阵A=

的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

选项

答案A的特征多项式为 [*] =(λ－2)(λ²－8λ+18+3a) (1)若λ=2是f(λ)的二重根，则有(λ²－8λ+18+3a)|_λ=2=2²－16+18+3a=3a+6=0，解得a=－2．当a=－2时，A的特征值为2，2，6，矩阵 [*] 的秩为1，故对应于二重特征值2的线性无关特征向量有两个，从而A可相似对角化． (2)若λ=2不是f(λ)的二重根，则λ²－8λ+18+3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a=－2／3．当a=－2／3时，A的特征值为2，4，4，矩阵 [*] 的秩为2，故A的对应于特征值4的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角矩阵．

解析

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