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设方阵A满足条件ATA=E,其中AT是A的转置矩阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.
设方阵A满足条件ATA=E,其中AT是A的转置矩阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.
admin
2016-01-11
274
问题
设方阵A满足条件A
T
A=E,其中A
T
是A的转置矩阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.
选项
答案
设x是A的实特征向量(非零),它所对应的特征值为λ,故有Ax=λx.(Ax)
T
(Ax)=x
T
(A
T
A)x=x
T
Ex=x
T
x(据已知),因此,有x
T
x=(Ax)
T
(λx)=A
2
x
T
x, 即 (1一λ
2
)x
T
x=0.由于x
T
x=‖x‖
2
>0,故1—λ
2
=0,即|λ|=1.
解析
本题利用特征值、特征向量的定义,通过矩阵运算而得.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6e34777K
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