设方阵A满足条件ATA=E，其中AT是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．

admin2016-01-11 255

问题设方阵A满足条件A^TA=E，其中A^T是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．

选项

答案设x是A的实特征向量(非零)，它所对应的特征值为λ，故有Ax=λx．(Ax)^T(Ax)=x^T(A^TA)x=x^TEx=x^Tx(据已知)，因此，有x^Tx=(Ax)^T(λx)=A²x^Tx，即 (1一λ²)x^Tx=0．由于x^Tx=‖x‖²＞0，故1—λ²=0，即｜λ｜=1．

解析本题利用特征值、特征向量的定义，通过矩阵运算而得．

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