设方阵A满足条件ATA=E,其中AT是A的转置矩阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

admin2016-01-11  236

问题 设方阵A满足条件ATA=E,其中AT是A的转置矩阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

选项

答案设x是A的实特征向量(非零),它所对应的特征值为λ,故有Ax=λx.(Ax)T(Ax)=xT(ATA)x=xTEx=xTx(据已知),因此,有xTx=(Ax)T(λx)=A2xTx, 即 (1一λ2)xTx=0.由于xTx=‖x‖2>0,故1—λ2=0,即|λ|=1.

解析 本题利用特征值、特征向量的定义,通过矩阵运算而得.
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